Calcul d'inverse modulo 21 - Corrigé

Énoncé

Démontrer que  \(8\)  est inversible modulo  \(21\) , et déterminer un inverse de  \(8\)  modulo  \(21\) .

Solution

On applique l'algorithme d'Euclide pour \(21\) et \(8\) :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r\\ \hline 21&8&2&5\\ \hline 8&5&1&3\\ \hline 5&3&1&2\\ \hline 3&2&1&1 \\ \hline 2&1&2&0 \\ \hline \end{array} \begin{array}{ll}\ & \\ \times (-3) & \text{suppression du reste } 5 \\ \times 2& \text{suppression du reste } 3\\ \times (-1)& \text{suppression du reste } 2\\ \times 1& \text{conservation du PGCD}\\ & \end{array}\end{align*}\)   

En additionnant les lignes après avoir éliminé les restes intermédiaires, on obtient : 
\(\begin{align*}21 \times (-3)+8 \times 2=8 \times 2 \times (-3)+1& \ \ \Longleftrightarrow \ \ 21 \times (-3)+8 \times 8=1\end{align*}\) .

On a donc  \(8 \times 8 \equiv 1 \ [21]\) , donc  \(8\)  est inversible modulo  \(21\) , et  \(8\)  est un inverse de lui-même modulo  \(21\) .